非線形科学

反応拡散系

魚の体表の模様などのモデル．

Gray-Scott モデル

2種類の物質からなる．

$$ \begin{align} \frac{\partial u}{\partial t} &= D_u\Delta u - uv^2 + f(1-u) \ \frac{\partial v}{\partial t} &= D_v\Delta v + uv^2 - (f+k)v \end{align} $$

差分形式

$u$ に関して，特に2次元平面上においては，

$$ \Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} $$

であるから，微分方程式は，

$$ \frac{\partial u}{\partial t} = D_u\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right) - uv^2 + f(1-u) $$

となり， $(x, y)$ においては次のように書ける．

$$ \frac{\partial u_{x, y}}{\partial t} = D_u\left(\frac{\partial^2 u_{x, y}}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u_{x, y}}{\partial y^2}\right) - u_{x, y}v_{x, y}^2 + f(1-u_{x, y}) $$

これを，差分形式，

$$ \begin{align} \frac{\partial^2 u_{x, y}}{\partial x^2} &\simeq \frac{u_{x+h, y}+u_{x-h, y}-2u_{x, y}}{h^2} \\ \frac{\partial^2 u_{x, y}}{\partial y^2} &\simeq \frac{u_{x, y+h}+u_{x, y-h}-2u_{x, y}}{h^2} \end{align} $$

を用いて表すと，

$$ \begin{align} \frac{\partial u_{x, y}}{\partial t} &\simeq D_u\left(\frac{u_{x+h, y}+u_{x-h, y}-2u_{x, y}}{h^2} + \frac{u_{x, y+h}+u_{x, y-h}-2u_{x, y}}{h^2}\right) - u_{x, y}v_{x, y}^2 + f(1-u_{x, y}) \\ &= D_u\left(\frac{u_{x+h, y}+u_{x-h, y}+u_{x, y+h}+u_{x, y-h}-4u_{x, y}}{h^2}\right) - u_{x, y}v_{x, y}^2 + f(1-u_{x, y}) \end{align} $$

となる． $v$ も同様にして，

$$ \frac{\partial v_{x, y}}{\partial t} \simeq D_v\left(\frac{v_{x+h, y}+v_{x-h, y}+v_{x, y+h}+v_{x, y-h}-4v_{x, y}}{h^2}\right) + u_{x, y}v_{x, y}^2 - (f+k)v_{x, y} $$

と書ける．

シミュレーションする場合は，各 $(x, y)$ について，次のようにオイラー法などで数値計算すればよい．

$$ \begin{align} u_{x, y}^{t+\delta t} &= u_{x, y}^{t} + \frac{\partial u_{x, y}}{\partial t} \delta t \\ v_{x, y}^{t+\delta t} &= v_{x, y}^{t} + \frac{\partial v_{x, y}}{\partial t} \delta t \end{align} $$